Università degli Studi di Napoli "Parthenope"

Scheda dell'insegnamento

Anno accademico: 
2016/2017
Tipologia di insegnamento: 
Base
Tipo di attività: 
Obbligatorio
Corso di afferenza: 
Corso di Laurea triennale (DM 270) in SCIENZE NAUTICHE ED AERONAUTICHE
Settore disciplinare: 
ANALISI MATEMATICA (MAT/05)
Lingua: 
Italiano
Crediti: 
6
Anno di corso: 
2
Docenti: 
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' frontale: 
48

Obiettivi

Scopo del corso è lo studio degli argomenti fondamentali di un secondo corso di analisi matematica con l’aggiunta delle serie numeriche.
Particolare attenzione verrà data ai metodi risolutivi dei problemi e alla trattazione di esempi, in modo da cercare di trasmettere una buona padronanza dell’uso dell’analisi.
Conoscenza e capacità di comprensione: Lo studente deve dimostrare di conoscere e saper comprendere i fondamenti dell’analisi matematica, con particolare riguardo alla comprensione logica delle definizioni e teoremi e all’individuazioni di esempi e contro-esempi.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Lo studente deve dimostrare di saper utilizzare la propria conoscenza acquisita per risolvere i principali problemi riguardanti lo studio di funzioni di più variabili. Questo comporterà la capacità di individuare gli strumenti teorici adatti
al particolare problema in esami applicando in modo corretto gli strumenti astratti calcolo infinitesimale.
Autonomia di giudizio: Lo studente deve essere in grado di sapere valutare in maniera autonoma
la veridicità logica di affermazioni e proprietà riguardanti le funzioni di più variabil.
Abilità comunicative: Lo studente deve essere in grado di esporre in maniera logicamente corretta
i teoremi riguardanti gli argomenti della teoria delle funzioni di più variabili,
evidenziando ipotesi e tesi, illustrando i risultati tramite esempi ed applicazioni.
Capacità di apprendimento: Lo studente deve essere in grado di aggiornarsi e approfondire in modo autonomo gli argomenti trattati, anche individuando gli strumenti adatti tra quelli a disposizione nella rete.

Prerequisiti

I prerequisiti sono la conoscenza degli strumenti di un primo corso di Analisi e Algebra lineare:
calcolo differenziale e integrale di funzioni di una variabile e basi della teoria di spazi vettoriali e applicazioni lineari.

Contenuti

Serie numeriche: Definizioni, serie geometriche e armoniche; criteri di convergenza per serie a termini positivi: criterio del confronto, della radice, rapporto, infinitesimo. Criteri di convergenza per serie a termini di segno variabile, e a termini di segno alterno.
Serie di Funzioni: Serie di funzioni e convergenza totale. Serie di Potenze, raggio di convergenza e insieme di convergenza. Derivazione di una serie di potenze. Serie di potenze e serie di Taylor. Esempi.
Funzioni di più variabili: Coordinate polari e cartesiane nel piano; elementi di topologia nel piano; rappresentazione parametrica e cartesiana del piano nello spazio. Funzioni di due variabili: dominio, curve di livello, limiti e continuità. Derivate direzionali, parziali, gradiente, differenziabilità. Punti critici, massimi e minimi relativi; matrice Hessiana. Formula di Taylor al secondo ordine. Massimi e minimi vincolati; moltiplicatori di Lagrange. Esempi.
Equazioni differenziali: Introduzione alle equazioni differenziali e al problema di Cauchy. Equazioni lineari del primo ordine lineari: metodi risolutivi per le equazioni lineari omogenee e non. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: equazione caratteristica per le equazioni omogenee; metodo di variazione delle costanti e metodo di similarità per le equazioni non omogenee. Equazioni non lineari: equazioni a variabili separabili. Problema di Cauchy: Teorema di esistenza e unicità locale. Teorema di esistenza globale. Esempi.
Curve e Integrali curvilinei: Definizioni; rappresentazioni parametrica e cartesiana; curve semplici, chiuse, regolari. Versore tangente, versore normale. Lunghezza di una curva. Curve orientate e ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione. Esempi.
Integrali doppi e tripli: Integrazione su domini normali, calcolo di integrali doppi: formule di riduzione e di cambiamento di variabili; volume di un solido. Formule di Gauss-Green, Teorema della divergenza, Formula di Stokes; integrazione per parti. Cambio di variabili: coordinate polari. Cenni sugli integrali tripli. Esempi.
Argomenti del solo corso di Analisi matematica II

Forme differenziali e Campi Vettoriali: Definizione e integrale curvilineo di una forma differenziale; forme differenziali chiuse e esatte; determinazione di una primitiva di una forma esatta; condizioni sufficienti a garantire l’esattezza di una forma. Lavoro di un Campo vettoriale, Campi irrotazionali e conservativi.
Esempi.
Superfici: Definizioni; equazioni parametriche e carte-siane; superfici regolari. Piano tangente; versore normale. Superfici di rotazione. Teorema della divergenza e formula di Stokes. Esempi.

Metodi didattici

Lezioni frontali con numerose esercitazioni

Verifica dell'apprendimento

L'esame consiste di una prova scritta e di una prova orale.

Testi

Matematica 2
Autori: G. Crasta e A. Malusa
Analisi Matematica 2.
Edizioni Pitagora.
Autori:M.Bramanti, C. Pagani, S.Salsa
Edizioni Zanichelli.
“Esercizi di Analisi Matematica 2”.
Autori: S.Salsa, Squellati. Edizioni Zanichelli.
Autori P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di analisi matematica due vol.1 e 2 Edizioni Zanichelli
Proiezioni di molti argomenti con audio disponibli in modalità blended.

Altre informazioni

La verifica si basa su una prova scritta strutturata al fine di valutare il conseguimento da parte dello studente degli obiettivi formativi. Sarà svolta una prova orale per valutare l’acquisizione e la profondità di apprendimento delle conoscenze teoriche generali.