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SCIENZA DELLE COSTRUZIONI
Scheda dell'insegnamento
Obiettivi
Il corso si propone di fornire i fondamenti teorici e gli strumenti operativi per l'analisi dello stato deformativo e tensionale in un corpo continuo. Si affronta in particolare lo studio dei sistemi di travi. Il corso è organizzato in una parte teorica ed una esercitativa svolte in parallelo. Verranno forniti agli allievi gli strumenti necessari alla classificazione di una struttura costituita da travi (labile, isostatica, iperstatica), alla determinazione dello stato tensionale e deformativo, ed alla comprensione delle relazioni che consentono di passare dalle teorie strutturali monodimensionali al modello della trave di Saint Venant.
Risultati di apprendimento
Conoscenza e capacità di comprensione:
Fondamenti delle teorie strutturali monodimensionali e del modello della trave di Saint-Venant.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Capacità di risolvere un problema elementare di Meccanica delle strutture.
Autonomia di giudizio:
Capacità di controllo della soluzione di un problema elementare di Meccanica delle strutture.
Abilità comunicative:
Capacità di relazionare su modelli e metodi di calcolo adottati in Meccanica delle solidi e delle strutture.
Capacità di apprendimento:
Capacità di analisi del comportamento di strutture monodimensionali in fase elastica con il giusto approccio metodologico.
Prerequisiti
E’ necessario aver acquisito i contenuti fondamentali dei corsi di: Analisi Matematica 1 e 2, Algebra e Geometria, Meccanica Razionale (insegnamento propedeutico) ed in particolare:
Concetti di base per le funzioni di una variabile e relative applicazioni: limiti e continuità, la derivate, l’integrale e lo sviluppo in serie di Taylor (da Analisi Matematica 1);
Concetti di base per le funzioni di più variabili: limiti e continuità, derivate parziali, gradiente e derivate direzionali, ascissa curvilinea. Formule di Gauss-Green. Risoluzione di equazioni differenziali lineari (da Analisi Matematica 2);
Concetti di base di algebra lineare e relative applicazioni: vettori, spazi vettoriali, sottospazi; operazioni con i vettori; operatori lineari e matrici; immagine e nucleo di un operatore lineare; discussione e risoluzione di un sistema di equazioni lineari (da Algebra e Geometria).
Concetti di base di cinematica, statica e geometria delle aree: sistemi di vettori, cinematica dei sistemi rigidi piani, vincoli. Forze e coppie, equilibrio, reazioni vincolari, equazioni cardinali della statica, teorema dei lavori virtuali. Baricentro, momenti d’inerzia e loro proprietà (da Meccanica Razionale).
Contenuti
Sollecitazioni nelle strutture (6 ore lezione + 6 ore esercitazione)
Strutture isostatiche, labili, iperstatiche. Interpretazione algebrica e fisica. Strutture in equilibrio e caratteristiche della sollecitazione interna. Convenzione sui segni delle caratteristiche. Principio di sezionamento di Eulero-Cauchy. Determinazione delle caratteristiche. Metodo diretto e metodo analitico. Equazioni differenziali di equilibrio. Condizioni al contorno e condizioni di salto. L’approccio di Lagrange.
Modelli strutturali e metodi di calcolo (20 ore lezione + 8 ore esercitazione)
Il modello strutturale dell’asta deformabile a sforzo assiale. Equazioni di equilibrio, compatibilità e relazione costitutiva elastica lineare. Il modello strutturale della trave. La flessione. Il modello di Eulero-Bernoulli. Equazioni di equilibrio. La deformazione al taglio. Il modello di Timoshenko. La linea elastica. Condizioni al contorno. Identità fondamentale della meccanica per i modelli di asta e di trave. Cedimenti e distorsioni. Cenni all’instabilità di aste compresse. L’equilibrio in configurazione deformata. Spostamenti finiti e spostamenti piccoli geometricamente. Linearizzazione. Il carico critico euleriano e la linea elastica in configurazione deformata. Il teorema dei lavori virtuali e sua applicazione al calcolo degli. Strutture iperstatiche. Equazioni di compatibilità. Il metodo delle forze. Equazioni di Muller-Breslau.
Elementi di meccanica dei continui (10 ore lezione + 2 ore esercitazione)
Cinematica ed analisi della deformazione. Misure di deformazione. Ipotesi di piccole deformazioni e teoria linearizzata. Il tensore della deformazione infinitesima. Autovalori ed autovettori. Dilatazioni e scorrimenti. Deformazione volumetrica. Analisi della tensione. Equilibrio. Forze di volume e di contatto. Il concetto di tensione. Principio di sezionamento. Postulato di Cauchy. Lemma di Cauchy. Teorema di Cauchy. Equazioni differenziali di equilibrio. Condizioni ai limiti. Tensioni e direzioni principali. Decomposizione sferico-deviatorica. Il diagramma di Mohr per un tensore simmetrico. Significato e costruzione del diagramma.
Relazioni costitutive, elasticità e comportamento dei materiali (6 ore lezione + 2 ore esercitazione)
Relazioni generali. L’identità integrale fondamentale della meccanica. I teoremi dei lavori virtuali. Relazioni costitutive. Energia elastica ed energia complementare. Esemplificazione per il caso 1D. Relazioni elastiche. Potenziale elastico. Simmetrie. Relazione elastica lineare isotropa. Costanti elastiche. Il problema dell’equilibrio elastico. Sovrapposizione degli effetti Il problema dell’equilibrio elastico per il continuo di Cauchy. Equazioni differenziali di equilibrio e di compatibilità. Approccio agli spostamenti. Regolarità e formulazione forte. Formulazione debole. Formule di Gauss-Green. Resistenza dei materiali e prove sperimentali. Il limite elastico. Criteri di resistenza per materiali duttili e per materiali fragili. Tensione tangenziale massima e criterio di Tresca. Tensione tangenziale ottaedrale e criterio di Huber-Hencky-Von Mises. Criterio di Galileo-Rankine. Considerazioni sulla determinazione della capacità portante delle strutture. Comportamento fragile e duttile. Cenni ai metodi dell’analisi limite.
Il problema di Saint-Venant (10 ore lezione + 2 ore esercitazione)
Ipotesi geometriche e costitutive. Ipotesi sui carichi e sullo stato tensionale. Equilibrio interno ed ai limiti. Caratteristiche della sollecitazione. Postulato di Saint-Venant. Sforzo normale centrato. Flessione retta. Flessione deviata. Sforzo normale eccentrico. Torsione. La trattazioni esatta ed approssimate. Analogie con altri fenomeni fisici. Taglio. La trattazione basata sull’equilibrio. Estensione dei risultati di Saint-Venant.
Metodi didattici
Verifica dell'apprendimento
La verifica si articola in due prove intermedie (facoltative) e una prova finale scritta (obbligatoria).
L'esame finale consiste in tre esercizi ciascuno dei quali riguarda un diverso blocco di argomenti tra quelli individuati nella descrizione dei contenuti del corso. Il tempo complessivamente previsto per la prova finale è di tre ore. Per ciascuno degli esercizi proposti è indicato esplicitamente il relativo punteggio. Per il superamento dell'esame si richiede un punteggio almeno pari a 18/30.
Il punteggio dell'esame viene determinato mediante la formula:
MAX [0.2 × P1 + 0.2 × P2 + 0.6 × PF; PF]
essendo P1 il punteggio della prima prova intermedia, P2 il punteggio della seconda prova intermedia e PF il punteggio della prova finale.
Testi
P. Casini, M. Vasta, Scienza delle Costruzioni, Città Studi; D. Bernardini, Introduzione alla Meccanica delle Strutture, CittàStudi; L. Ascione, Sulla statica delle travi e dei sistemi di travi, Liguori; Appunti e dispense del corso.
Argomenti specifici possono essere approfonditi sui testi seguenti: L. Corradi Dell'Acqua, Meccanica delle strutture, vol 1, McGraw-Hill (Il problema di Saint Venant);