Argomenti comuni:
Serie numeriche: Definizioni, serie geometriche e armoniche; criteri di convergenza per serie a termini positivi: criterio del confronto, della radice, rapporto, infinitesimo. Criteri di convergenza per serie a termini di segno variabile, e a termini di segno alterno.
Serie di Funzioni: Serie di funzioni e convergenza totale. Serie di Potenze, raggio di convergenza e insieme di convergenza. Derivazione di una serie di potenze. Serie di potenze e serie di Taylor. Esempi.
Funzioni di più variabili: Coordinate polari e cartesiane nel piano; elementi di topologia nel piano; rappresentazione parametrica e cartesiana del piano nello spazio. Funzioni di due variabili: dominio, curve di livello, limiti e continuità. Derivate direzionali, parziali, gradiente, differenziabilità. Punti critici, massimi e minimi relativi; matrice Hessiana. Formula di Taylor al secondo ordine. Massimi e minimi vincolati; moltiplicatori di Lagrange. Esempi.
Equazioni differenziali: Introduzione alle equazioni differenziali e al problema di Cauchy. Equazioni lineari del primo ordine lineari: metodi risolutivi per le equazioni lineari omogenee e non. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: equazione caratteristica per le equazioni omogenee; metodo di variazione delle costanti e metodo di similarità per le equazioni non omogenee. Equazioni non lineari: equazioni a variabili separabili. Problema di Cauchy: Teorema di esistenza e unicità locale. Teorema di esistenza globale. Esempi.
Curve e Integrali curvilinei: Definizioni; rappresentazioni parametrica e cartesiana; curve semplici, chiuse, regolari. Versore tangente, versore normale. Lunghezza di una curva. Curve orientate e ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione. Esempi.
Integrali doppi e tripli: Integrazione su domini normali, calcolo di integrali doppi: formule di riduzione e di cambiamento di variabili; volume di un solido. Formule di Gauss-Green, Teorema della divergenza, Formula di Stokes; integrazione per parti. Cambio di variabili: coordinate polari. Cenni sugli integrali tripli. Esempi.
Argomenti del solo corso di Analisi matematica II
Forme differenziali e Campi Vettoriali: Definizione e integrale curvilineo di una forma differenziale; forme differenziali chiuse e esatte; determinazione di una primitiva di una forma esatta; condizioni sufficienti a garantire l’esattezza di una forma. Lavoro di un Campo vettoriale, Campi irrotazionali e conservativi.
Esempi.
Superfici: Definizioni; equazioni parametriche e carte-siane; superfici regolari. Piano tangente; versore normale. Superfici di rotazione. Teorema della divergenza e formula di Stokes. Esempi.
Argomenti del solo corso di Matematica II:
Elementi di probabilità: Richiami di calcolo combinatorio: permutazioni, disposizioni, combinazioni (con e senza ripetizioni). Definizioni elementari, algebra di eventi e definizione assiomatica di probabilità. Regole di calcolo, eventi indipendenti, probabilità condizionata, correlazione fra eventi; teoremi della probabilità composta e di Bayes.
Variabili aleatorie: Variabili aleatorie discrete e continue: funzioni di probabilità , distribuzione e densità, proprietà assiomatiche e regole di calcolo. Valore atteso e varianza: proprietà, variabili indipendenti, variabile standardizzata, disuguaglianza di Chebychev. Esempi.
La convergenza in probabilità e la legge dei grandi numeri. La convergenza in legge e il teorema del limite centrale.
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